Question

10．已知集合A={x|x²-2x-8≤0，x∈R}，B={x|x²-（5+m）x+5m≤0，m∈R}．
（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（2）设全集为R，若B⊆∁_RA，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A，根据A∩B得出2是方程x²-（5+m）x+5m=0的一个根，从而求出m的值；
（2）先求出∁_RA，根据B⊆∁_RA，讨论m的取值，求出满足题意的m的取值范围．

解答 解：（1）A=[-2，4]，方程x²-（5+m）x+5m=0的根为5，m，
且A∩B=[2，4]，∴2是方程x²-（5+m）x+5m=0的一个根，即m=2；
此时B=[2，5]，满足条件，∴m=2；…（7分）
（2）∁_RA=（-∞，-2）∪（4，+∞），∵B⊆∁_RA，
B={x|x²-（5+m）x+5m≤0，m∈R}，
当m＞5时，B=[5，m]，显然有[5，m]⊆（-∞，-2）∪（4，+∞），符合题意，∴m＞5；
当m=5时，B={5}，显然有{5}⊆（-∞，-2）∪（4，+∞），符合题意，∴m=5；
当m＜5，B=[m，5]，由[m，5]⊆（-∞，-2）∪（4，+∞），得4＜m＜5；
综上所述，m＞4．…（15分）

点评 本题考查了集合的简单运算与不等式的解法与应用问题，是基础题目．