Question

18．已知曲线f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-4lnx在点（1，f（1））处的切线l与x轴的交点为（$\frac{4}{3}$，0）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求证：对任意x∈（0，+∞），$\frac{{x}^{4}}{6}+\frac{2}{e}$＞$\frac{xf（x）}{4}+\frac{x}{{e}^{x}}$（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，求得函数在点（1，f（1））处的切线l的方程，由切线l与x轴的交点为（$\frac{4}{3}$，0），求得a值，则切线方程可求，进一步求出原函数的极小值点，得到f（x）的极小值；
（2）把f（x）的解析式代入$\frac{{x}^{4}}{6}+\frac{2}{e}$＞$\frac{xf（x）}{4}+\frac{x}{{e}^{x}}$，转化为证$\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}＜xlnx$，分别构造函数g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}$（0，+∞），然后利用导数分别求出它们的最值得到要证明的结论．

解答 （1）解：由f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-4lnx，得f′（x）=$a{x}^{2}-\frac{4}{x}$，
∴f′（1）=a-4，又f（1）=$\frac{a}{3}$，
∴曲线f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-4lnx在点（1，f（1））处的切线方程为y-$\frac{a}{3}=（a-4）（x-1）$，
取y=0，得$x=\frac{2（a-6）}{3（a-4）}=\frac{4}{3}$，解得a=2．
∴f′（x）=$2{x}^{2}-\frac{4}{x}=\frac{2{x}^{3}-4}{x}$（x＞0），
当x∈（0，$\root{3}{2}$）时，f′（x）＜0；当x∈（$\root{3}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，$\root{3}{2}$）上为减函数，在x（$\root{3}{2}$，+∞）上为增函数，
∴f（x）的极小值为$f（\root{3}{2}）$=$\frac{4}{3}-4ln\root{3}{2}=\frac{4}{3}（1-ln2）$；
（2）证明：f（x）=$\frac{2}{3}$x³-4lnx，
要证$\frac{{x}^{4}}{6}+\frac{2}{e}$＞$\frac{xf（x）}{4}+\frac{x}{{e}^{x}}$，需要证$\frac{{x}^{4}}{6}+\frac{2}{e}＞\frac{x•\frac{2}{3}{x}^{3}-4lnx}{4}+\frac{x}{{e}^{x}}$，
即证$\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}＜xlnx$．
令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），
则g′（x）=lnx+1，
由g′（x）＜0，得0$＜x＜\frac{1}{e}$；由g′（x）＞0，得$x＞\frac{1}{e}$．
∴当x=$\frac{1}{e}$时取得最小值，最小值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
由h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{2}{e}$，可得h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$．
∴当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减．
函数h（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，
又h（1）=-$\frac{1}{e}$，∴h（x）$＜-\frac{1}{e}$．
∴任意x∈（0，+∞），$\frac{{x}^{4}}{6}+\frac{2}{e}$＞$\frac{xf（x）}{4}+\frac{x}{{e}^{x}}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数极值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．