题目内容

16.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAC=90°,AB=$\sqrt{3}$,BC=1,AD=AA1=3.
(1)求证:AC⊥平面BB1D;
(2)求二面角B-B1D-C的余弦值;
(3)试判断线段CD1上是否存在点P,使A1P∥平面B1CD,若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

分析 (1)根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面BB1D;
(2)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角B-B1D-C的余弦值;
(3)根据线面平行的判定定理以及向量法进行判断即可.

解答 证明:(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直,
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间坐标系,
则A(0,0,0),B($\sqrt{3}$,0,0),B1($\sqrt{3}$,0,3),C($\sqrt{3}$,1,0),D(0,3,0),D1(0,3,3),
故$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{3}$,1,0),$\overrightarrow{BD}$=(-$\sqrt{3}$,3,0),$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=(0,0,3),
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0,$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0,
∴AC⊥BD,AC⊥BB1
∵BD∩BB1=B,BD?平面BB1D,BB1?平面BB1D,
∴AC⊥平面BB1D;
(2)∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=(0,1,-3),$\overrightarrow{CD}$=(-$\sqrt{3}$,2,0),
∴设平面B1DC的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{y-3z=0}\\{-\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$,
令y=1,
$\overrightarrow{n}$=$(\frac{2\sqrt{3}}{3},1,\frac{1}{3})$,
∵AC⊥平面BB1D,
∴$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},1,0)$为平面BB1D的一个法向量,
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{AC}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{\sqrt{22}}=\frac{9\sqrt{22}}{44}$,
故二面角B-B1D-C的余弦值为$\frac{9\sqrt{22}}{44}$.
(3)不存在,
假设线段CD1上存在点P,使A1P∥平面B1CD,
设$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}C}$,λ∈[0,1),
∵$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=($\sqrt{3},-2,-3$),
∴$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=($\sqrt{3}λ$,-2λ,-3λ),
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}+\overrightarrow{{D}_{1}P}$=($\sqrt{3}λ$,3-2λ,-3λ),
要使A1P∥平面B1CD,
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}•\overrightarrow{n}=0$,
即$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}λ+3-2λ-λ=0$,
解得λ=3∉[0,1),
∴线段CD1上不存在点P,使A1P∥平面B1CD.

点评 本题主要考查空间线面平行和线面垂直的判定,以及二面角的求解,要求熟练掌握相应的判定定理,利用向量法是解决二面角的常用方法.考查学生的运算能力.

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