题目内容
【题目】证明与化简.
(1)求证:cotα=tanα+2cot2α;
(2)请利用(1)的结论证明:cotα=tanα+2tan2α+4cot4α;
(3)请你把(2)的结论推到更一般的情形,使之成为推广后的特例,并加以证明:
(4)化简:tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°.
【答案】
(1)证明:tanα+2cot2α=tanα+
=tanα+2×
=tanα+ ﹣tanα
=cotα,
∴cotα=tanα+2cot2α.
(2)证明:∵cotα=tanα+2cot2α,
∴tanα+2tan2α+4cot4α
=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α
=cotα,
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α
(3)证明:一般地,cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα,n∈N*.
证明:∵cotα=tanα+2cot2α,∴cot2α=tan2α+2cot4α,
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+22cot22α,
以此类推得cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα,n∈N*
(4)解:tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°
=tan5°+2tan10°+4tan20°+8cot40°
=cot5°.
【解析】(1)tanα+2cot2α=tanα+2× ,由此能证明cotα=tanα+2cot2α.(2)由cotα=tanα+2cot2α,得到tanα+2tan2α+4cot4α=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α,由此能证明cotα=tanα+2tan2α+4cot4α.(3)一般地,cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα,n∈N* . 再由合情推量进行证明.(4)利用(3)的一般结论直接化简.
