Question

20．已知函数y=f（x）的定义域为R，并对一切实数x，都满足f（2+x）=f（2-x）
（1）求证：函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
（2）若f（x）是偶函数，且x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，求x∈[-4，0]时函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）在函数y=f（x）的图象任取一点P（x，y），由已知式子证明点P关于直线x=2的对称点P′（4-x，y）也在函数图象上；
（2）可证函数f（x）是周期为4的周期函数，由周期性和对称性可得分段函数的解析式．

解答 （1）证明：在函数y=f（x）的图象任取一点P（x，y），
则点P关于直线x=2的对称点P′（4-x，y），
∵对一切实数x，都满足f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）=f[2-（x-2）]=f（4-x）
∴y=f（4-x）=f（x），即P′也在函数图象上，
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
（2）由（1）知，任意x都有f（4-x）=f（x），
又f（x）是偶函数，∴f（x-4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
当x∈[-4，-2]，∴x+4∈[0，2]，
又x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，
∴当x∈[-4，-2]时，f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7，
∴此时函数的解析为f（x）=2x+7；
又函数f（x）的图象关于直线x=2对称，也关于x=-2对称，
由对称性可知当x∈（-2，0]时函数f（x）的图象为线段，
且经过点（-2，3）和（0，-1），
∴当x∈（-2，0]时，函数的解析为f（x）=-2x-1，
∴x∈[-4，0]时函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+7，x∈[-4，-2]}\\{-2x-1，x∈（-2，0]}\end{array}\right.$

点评 本题考查抽象函数的对称性和周期性，涉及分段函数解析式的求解和直线方程，属中档题．