题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2﹣mx+1﹣m2 , 若|f(x)|在[0,1]上单调递增,则实数m的取值范围 .
【答案】﹣1≤m≤0或m≥2
【解析】解:△=m2﹣4(1﹣m2)=5m2﹣4,函数的对称轴为x= ,
①当△=0时,5m2﹣4=0,即m=± ,
若m= ,则对称轴为x=
∈[0,1],则在[0,1]上不单调递增,不满足条件.
若m=﹣ ,则对称轴为x=﹣
<0,则在[0,1]上单调递增,满足条件.
②当△<0时,﹣ <m<
,此时f(x)>0恒成立,若|f(x)|在[0,1]上单调递增,
则x= ≤0,即m≤0,此时,﹣
<m≤0.
③当△>0,m<﹣ 或m>
,对称轴为x=
.
当m<﹣ 时,对称轴为x=﹣
<0,要使|f(x)|在[0,1]上单调递增,
则只需要f(0)≥0即可,此时f(0)=1﹣m2≥0,得﹣1≤m≤1,
此时﹣1≤m<﹣ .
若m> ,对称轴为x>
,则要使|f(x)|在[0,1]上单调递增,
此时f(0)=1﹣m2>0,只需要对称轴 ≥1,所以m≥2.
此时m≥2,
综上﹣1≤m≤0或m≥2,
所以答案是:﹣1≤m≤0或m≥2
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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