Question

【题目】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2 ， 则（ ）
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足
∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），
∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足
同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足
因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2 ，
∴点Q1与Q2重合于同一点
由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角
∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直
故选：A

【考点精析】掌握空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点；两个平面平行没有交点；两个平面相交有一条公共直线．