题目内容
【题目】已知圆C的圆心在x轴正半轴上,半径为5,且与直线相切.
(1)求圆C的方程;
(2)设点,过点
作直线
与圆C交于
两点,若
,求直线
的方程;
(3)设P是直线上的点,过P点作圆C的切线
,切点为
求证:经过
三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】(1) (2)
或
;(3) 见证明
【解析】
(1)设圆心,由直线和圆相切可得:
,利用点到直线距离公式即可求得
,问题得解。
(2)若直线的斜率不存在,即
:
,检验得:
成立,若直线
的斜率存在,可设直线
:
,由圆的弦长计算公式可得:
,即可求得
,问题得解。
(3)设,由题可得:经过
,
,
的三点的圆是以
为直径的圆,即可求得该圆的方程为:
,列方程
即可求得定点的坐标为
,
,问题得解。
(1)解:设圆心,圆心
到直线的距离为
则由直线和圆相切可得:,
可得,解得
(负值舍去),
即圆的方程为
;
(2)解:若直线的斜率不存在,即
:
,
代入圆的方程可得,,即有
,成立;
若直线的斜率存在,可设直线
:
,
即为,
圆到直线
的距离为
,
由,即有
,
解得,即
,解得
,则直线
的方程为
,
所以的方程为
或
;
(3)证明:由于是直线
上的点,
设,
由切线的性质可得,
经过,
,
的三点的圆是以
为直径的圆,
则方程为,
整理可得,
令,且
.
解得或
.
则有经过,
,
三点的圆必过定点,所有定点的坐标为
,
.
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