Question

【题目】[选修4-4：参数方程与极坐标系]
已知曲线C1的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标系方程；
（Ⅱ）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由ρ= 可得ρ=x+2，∴ρ2=（x+2）2①，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴x2+y2=ρ（cos2θ+sin2θ）=ρ2②

由①②两式子可得

y2=4（x+1）；

（Ⅱ）曲线C1的参数方程为 （t为参数），消去t得：2x+y+4=0．

∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．

∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，

∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．

设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，

则d= = ≥ ．

∴|M1M2|的最小值为 ．

【解析】（Ⅰ）把 变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；

（Ⅱ）由 （t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．