题目内容
【题目】已知抛物线y2=4x的焦点F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则4|FA|+|FB|的最小值为 ．
【答案】9
【解析】解：抛物线的焦点为F（1，0），（1）若直线与x轴垂直，则直线方程为x=1，
代入抛物线方程得y=±2，
∴|FA|=|FB|=2，
∴4|FA|+|FB|=10．（2）若直线与x轴不垂直，显然直线有斜率，
设直线方程为y=k（x﹣1），
联立方程组 
，消元得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2=1，即x2= 
，
∵A，B在抛物线上，∴|FA|=x1+1，|FB|=x2+1= 
，
∴4|FA|+|FB|=4x1+4+ +1=4x1+ +5≥2 
+5=9．
当且仅当4x1= 即x1= 
时取等号．
综上，4|FA|+|FB|的最小值为9．
所以答案是：9．
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