Question

9．已知函数f（x）=x²-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-1，x＞0\\ 2-x，x＜0\end{array}\right.$．
（1）求f（g（2））和g（f（2））的值；
（2）求g（x）的值域；
（3）求f（g（x））的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的表达式即可求f（g（2））和g（f（2））的值；
（2）分别求出x＞0和x＜0的函数值的取值范围即可求g（x）的值域；
（3）根据复合函数的关系式，讨论x＞0和x＜0时对应的对应关系即可求f（g（x））的表达式．

解答 解：（1）由分段函数得g（2）=2-1=1，f（2）=2²-1=3，
则f（g（2））=f（1）=1-1=0，g（f（2））=g（3）=3-1=2；
（2）当x＞0时，g（x）=x-1＞-1，
当x＜0时，g（x）=2-x＞2，
综上g（x）＞-1，即g（x）的值域为（-1，+∞）；
（3）当x＞0时，g（x）=x-1＞，则f（g（x））=（x-1）²-1=x²-2x，
当x＜0时，g（x）=2-x，f（g（x））=（2-x）²-1=x²-4x-3．
即f（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x^2-2x，}&{x＞0}\\{{x}^{2}-4x+3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式进行求值和求解析式，注意变量的取值范围．