Question

17．已知f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}$-2x，x∈R．
（1）若m=-$\frac{1}{2}$，求f（x）的极值．
（2）若f（x）对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]恒有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=-$\frac{1}{2}$代入函数的表达式，求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）问题转化为x²+2mx-2≤0在[-1，1]恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性，从而求出m的范围．

解答 解：（1）m=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，
∴f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜2，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）递增，在（-1，2）递减，
∴x=2时，函数取得极小值$-\frac{10}{3}$；x=-1时，函数取得极大值$\frac{7}{6}$；
（2）f′（x）=x²+2mx-2，
若f（x）对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]恒有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
则函数f（x）在[-1，1]上递减，即f′（x）≤0在[-1，1]恒成立，
即x²+2mx-2≤0在[-1，1]恒成立，（*），
①x=0时，-2≤0，成立，
②-1≤x＜0时，（*）可化为：m≥$\frac{{-x}^{2}+2}{2x}$，
设g（x）=$\frac{-{2x}^{2}+2}{2x}$=-$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$，
则g′（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，g（x）在[-1，0）递减，
∴g（x）_max=g（-1）=-$\frac{1}{2}$，
∴m≥-$\frac{1}{2}$，
③0x≤1时，（*）可化为：m≤$\frac{{-x}^{2}+2}{2x}$，
设g（x）=$\frac{-{2x}^{2}+2}{2x}$=-$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$，
则g′（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，g（x）在（0，1]递减，
∴g（x）_min=g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴m≤$\frac{1}{2}$，
综上：$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．