Question

20．数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{6}$，前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n，
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）根据${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}{a}_{n}$，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a_n，然后利用数学归纳法进行证明即得．

解答 解：（1）∵${a_1}=\frac{1}{6}$，
∴令n=2，${S_2}=\frac{2×（2+1）}{2}{a_2}$，即a₁+a₂=3a₂．∴${a_2}=\frac{1}{12}$．
令n=3，得${S}_{3}=\frac{3×（3+1）}{2}{a}_{3}$，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴${a_3}=\frac{1}{20}$．
令n=4，得${S_4}=\frac{4×（4+1）}{2}{a_4}$，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴${a_4}=\frac{1}{30}$．
（2）猜想${a_n}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，下面用数学归纳法给出证明．
①当n=1时，${a_1}=\frac{1}{6}=\frac{1}{（1+1）（1+2）}$结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即${a_k}=\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
则当n=k+1时，${S_k}=\frac{k（k+1）}{2}{a_k}=\frac{k（k+1）}{2}•\frac{1}{（k+1）（k+2）}$
=$\frac{k}{2（k+2）}，{S_{k+1}}=\frac{（k+1）（k+2）}{2}{a_{k+1}}$，
即${S_k}+{a_{k+1}}=\frac{（k+1）（k+2）}{2}{a_{k+1}}$．
∴$\frac{k}{2（k+2）}+{a_{k+1}}=\frac{（k+1）（k+2）}{2}{a_{k+1．}}$
∴${a_{k+1}}=\frac{{\frac{k}{2（k+2）}}}{{\frac{（k+1）（k+2）}{2}-1}}=\frac{k}{k（k+3）（k+2）}=\frac{1}{（k+2）（k+3）}$．
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N₊都有${a_n}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}$成立．

点评 本题主要考查数列递推式、数学归纳法．数学归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证．