Question

14．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95

根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}\sqrt{\sum_i^n{（{y_i}-\overline y}}{）^2}}}$；回归直线的方程是：$\widehat{y}$=bx+a．
其中对应的回归估计值b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$；
参考数据：$\overline{x}$=77.5，$\overline{y}$=85，$\sum_{i=1}^{8}$（x₁-$\overline{x}$）²≈1050，$\sum_{i=1}^{8}$（y₁-$\overline{y}$）²≈456；$\sum_{i=1}^{8}$（x₁-$\overline{x}$）（y₁-$\overline{y}$）≈688，$\sqrt{1050}$≈32.4，$\sqrt{456}$≈21.4，$\sqrt{550}$≈23.5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；
（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．

解答 解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，
女生应抽取$25×\frac{8}{40}=5$（人），
男生应抽取$15×\frac{8}{40}=3$（人）；…（4分）
（Ⅱ）变量y与x的相关系数是
r=$\frac{\sum_{i=1}^{8}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{{\sum_{i=1}^{8}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}\sqrt{{\sum_{i=1}^{8}{（y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}$=$\frac{688}{\sqrt{1050}×\sqrt{456}}$=$\frac{688}{32.4×21.4}$≈0.99；…（6分）
可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）
【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，
从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以物理与数学成绩是高度正相关；】
设y与x的线性回归方程是$\hat y=bx+a$，
根据所给的数据，可以计算出
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{688}{1050}$=0.66，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=85-0.66×77.5=33.85；…（10分）
所以y与x的回归方程是$\hat y=0.66x+33.85$．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础题目．