Question

10．若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，在[1，+∞）递减．
（1）求a的值；
（2）求g（x）=a${\;}^{-{x}^{2}-2x}$的值域；
（3）解关于x的不等式：log_a（-2x+3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性可知二次函数的对称轴，结合二次函数的对称性建立等量关系，求得a的值；
（2）利用配方法，结合指数函数的单调性求g（x）=a${\;}^{-{x}^{2}-2x}$的值域；
（3）log_a（-2x+3）＜0化为log₂（-2x+3）＜log₂1，利用对数函数的单调性解不等式．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，在[1，+∞）递减，
∴二次函数f（x）=-x²+ax+4的对称轴为x=$\frac{a}{2}$=1，
∴a=2；
（2）g（x）=2${\;}^{-{x}^{2}-2x}$=${2}^{-（x+1）^{2}+1}$≤2，
∵g（x）＞0，∴g（x）=a${\;}^{-{x}^{2}-2x}$的值域为（0，2]；
（3）log₂（-2x+3）＜log₂1，
∴0＜-2x+3＜1，
∴1$＜x＜\frac{3}{2}$，
∴不等式的解集为{x|1$＜x＜\frac{3}{2}$}．

点评 本题主要考查了二次函数的单调性的应用，以及二次函数、指数函数、对数函数的有关性质，根据题意得到二次函数的对称轴是解题的关键，属于中档题．