题目内容
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，已知$\overrightarrow{m}$=（b，a-2c），$\overrightarrow{n}$=（cosA-2cosC，cosB）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．（1）求$\frac{sinC}{sinA}$的值；
（2）若a=2，|$\overrightarrow{m}$|=3$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．
分析 （1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0．再利用正弦定理可得：sin（A+B）-2sin（B+C）=0，利用诱导公式可得．
（2）由（1）可得：$\frac{sinC}{sinA}$=2，利用正弦定理可得：$\frac{c}{a}$=2．解出c．由|$\overrightarrow{m}$|=3$\sqrt{5}$，解得b．利用余弦定理可得cosC，可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$即可得出．
解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0．
由正弦定理可得：sinB（cosA-2cosC）+（sinA-2sinC）cosB=0．
化为sin（A+B）-2sin（B+C）=0，
∴sinC-2sinA=0．
∴$\frac{sinC}{sinA}$=2．
（2）由（1）可得：$\frac{sinC}{sinA}$=2，∴$\frac{c}{a}$=2．
∵a=2，∴c=4．
∵|$\overrightarrow{m}$|=3$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{b}^{2}+（a-2c）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
解得b=3．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×2×3}$=$-\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
点评 本题考查了数量积运算性质、正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
