Question

15．在数列{a_n}中，a_n+1=3a_n²，a₁=3，求数列的通项公式．

Answer 1

分析 a_n+1=3a_n²，a₁=3，两边取对数可得：lga_n+1=lg3+2lga_n，化为lga_n+1+lg3=2（lga_n+lg3），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=3a_n²，a₁=3，
∴?n∈N^*，a_n＞0．
∴lga_n+1=lg3+2lga_n，
化为lga_n+1+lg3=2（lga_n+lg3），
∴数列{lga_n+lg3}是等比数列，首项为2lg3，公比为2．
∴lga_n+lg3=2^n-1×2lg3=2ⁿlg3，
∴a_n=${3}^{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．