题目内容
如图,已知△P1OP2的面积为
,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为
的双曲线方程. 



双曲线方程为
=1

以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系.
设双曲线方程为
=1(a>0,b>0)
由e2=
,得
.
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=
x和y=-
x
设点P1(x1,
x1),P2(x2,-
x2)(x1>0,x2>0),则由点P分
所成的比λ=
=2,得P点坐标为(
),又点P在双曲线
=1上,所以
=1,
即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①

即x1x2=
②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为
=1.
设双曲线方程为

由e2=


∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=


设点P1(x1,







即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①

即x1x2=

由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为


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