Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD=1，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PD⊥平面ABCD即可得到BD⊥PD，再由BD⊥AD，根据线面垂直的判定定理即可得到BD⊥平面PAD，从而得出PA⊥BD；
（Ⅱ）求出BD，可得S_ABCD=2S_△ABD=$\sqrt{3}$，即可求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （I）证明：PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD；
∴PD⊥BD，即BD⊥PD；
又BD⊥AD，AD∩PD=D；
∴BD⊥平面PAD，PA?平面PAD；
∴PA⊥BD；
（II）解：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∴S_ABCD=2S_△ABD=$\sqrt{3}$，
∵PD⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查线面垂直的性质及判定定理，考查四棱锥P-ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．