题目内容
19.设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3•22n+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=nan,求数列的前n项和Sn.
分析 (Ⅰ)通过an+1-an=3•22n+1可知an-an-1=3•22n-1、an-1-an-2=3•22n-3、…、a2-a1=3•23,进而累加计算即得结论;
(Ⅱ)通过(I)可知bn=nan=n(22n+1-6),利用错位相减法计算可知1•23+2•25+3•27+…+(n-1)•22n-1+n•22n+1=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$(3n-1)•22n+3,进而计算可得结论.
解答 解:(Ⅰ)∵an+1-an=3•22n+1,
∴an-an-1=3•22n-1,an-1-an-2=3•22n-3,…,a2-a1=3•23,
累加得:an-a1=3•(23+25+…+22n-1)=3•$\frac{{2}^{3}(1-{2}^{2(n-1)})}{1-{2}^{2}}$=22n+1-8,
∴an=a1+22n+1-8=22n+1-6;
(Ⅱ)由(I)可知bn=nan=n(22n+1-6),
记数列{n•22n+1}的前n项和为Tn,则
Tn=1•23+2•25+3•27+…+(n-1)•22n-1+n•22n+1,
4Tn=1•25+2•27+3•29+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3,
两式相减得:-3Tn=23+25+27+29+…+22n+1-n•22n+3,
=$\frac{{2}^{3}(1-{2}^{2n})}{1-{2}^{2}}$-n•22n+3
=-$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$(3n-1)•22n+3,
∴Tn=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$(3n-1)•22n+3,
∴数列的前n项和Sn=Tn-6•$\frac{n(n+1)}{2}$
=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$(3n-1)•22n+3-3n(n+1).
点评 本题考查数列的通项及前n项和,利用累加法、错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | {x∈R|x+5=5} | B. | {x∈R|x+5>5} | C. | {x∈R|x2=0} | D. | {x∈R|x2+x+1=0} |
A. | 第一象限角 | B. | 第二象限角 | C. | 第三象限角 | D. | 第四象限角 |
A. | 0<S<1 | B. | 3<S<4 | C. | 2<S<3 | D. | 1<S<2 |
A. | {0,1} | B. | {-1,0} | C. | {-2,3,4} | D. | {2,3,4} |