Question

1．已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y=$\frac{1}{2}$，则$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令x-y=t，x+3y=s（s＞0，t＞0），解得x，y，再由条件可得s+t=1，则$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$=（s+t）（$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$），运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：令x-y=t，x+3y=s（s＞0，t＞0），
则x=$\frac{1}{4}$（s+3t），y=$\frac{1}{4}$（s-t），
由x+y=$\frac{1}{2}$，可得s+t=1，
则$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$=（s+t）（$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$）=3+（$\frac{s}{t}$+$\frac{2t}{s}$）≥3+2$\sqrt{2}$．
当且仅当s=$\sqrt{2}$t=2-$\sqrt{2}$时，取得等号．
则$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
另解：x＞y＞0，且x+y=$\frac{1}{2}$，即（x+3y）+（x-y）=1，
则$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=[（x+3y）+（x-y）]（$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$）=3+$\frac{x+3y}{x-y}$+$\frac{2（x-y）}{x+3y}$
≥3+2$\sqrt{2}$（当且仅当x+3y=$\sqrt{2}$（x-y）时取得等号）
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用换元法和乘1法，以及等号成立的条件，属于中档题和易错题．