题目内容

6.在极坐标系中,与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=$\frac{π}{6}$(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程是(  )
A.ρ=sin($\frac{π}{3}$+θ)+1B.ρ=sin($\frac{π}{3}$-θ)+1C.ρ=sin($\frac{π}{6}$+θ)+1D.ρ=sin($\frac{π}{6}$-θ)+1

分析 第一步:将对称轴方程化为直角坐标方程;
第二步:在已知曲线ρ=cosθ+1上任取一点,并化为直角坐标;
第三步:求该点关于对称轴对称的点,并化为极坐标形式;
第四步:将此极坐标逐个代入四个选项中验证即可达到目的.

解答 解:由θ=$\frac{π}{6}$,得tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,得对称轴方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
在方程ρ=cosθ+1中,取θ=$\frac{π}{2}$,则$ρ=cos\frac{π}{2}+1=1$,
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$,得点($\frac{π}{2}$,1)的直角坐标为(0,1),
则过点(0,1)且与直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$垂直的直线的直角坐标方程为$y=-\sqrt{3}x+1$,
从而此两直线的交点坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4})$,
由中点公式,得点(0,1)关于直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$对称的点为$(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$,
设其极坐标为(ρ0,θ0),则$tan{θ}_{0}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$,取${θ}_{0}=-\frac{π}{6}$,
又$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+({-\frac{1}{2})}^{2}}=1$,得点$(-\frac{π}{6},1)$,
此点必在曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=$\frac{π}{6}$(ρ∈R)对称的曲线上,
在四个选项中,只有选项C中的方程满足.
故选:C.

点评 本题考查了极坐标与直角坐标之间的相互转化,及轴对称问题的处理,难点是点关于直线对称的点的求法,求解时应善于运用中点公式及两直线互相垂直的充要条件.

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