题目内容

16.已知(x2+$\frac{2}{\sqrt{x}}$)n的展开式的二项式系数之和为32,则其展开式中常数项为80.

分析 由二项式系数的性质求得n,写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r,则展开式中常数项可求.

解答 解:由题意知,2n=32,即n=5.
∴(x2+$\frac{2}{\sqrt{x}}$)n=(x2+$\frac{2}{\sqrt{x}}$)5
由${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}({x}^{2})^{5-r}(\frac{2}{\sqrt{x}})^{r}$=${2}^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{10-\frac{5r}{2}}$.
令10-$\frac{5r}{2}=0$,得r=4.
∴展开式中常数项为${T}_{5}={2}^{4}×{C}_{5}^{4}=80$.
故答案为:80.

点评 本题考查了二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题.

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