题目内容

某公司有价值a万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价.假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:
①y与a-x和x的乘积成正比;②x=
a
2
y=a2
0≤
x
2(a-x)
≤t
其中t为常数,且t∈[0,1].
(1)设y=f(x),试求出f(x)的表达式,并求出y=f(x)的定义域;
(2)求出售价y的最大值,并求出此时的技术改造投入的x的值.
(1)设y=k(a-x)x,当x=
a
2
时y=a2
,可得k=4,∴y=4(a-x)x∴定义域为[0,
2at
1+2t
]
,t为常数,t∈[0,1]
(2)y=4(a-x)x=-4(x-
a
2
)2+a2

2at
1+2t
a
2
时,即
1
2
≤t≤1,x=
a
2
时,ymax=a2

2at
1+2t
a
2
时,即0≤t<
1
2
时,y=4(a-x)在[0,
2at
1+2t
]上为增函数,
当x=
2at
1+2t
时,ymax=
8at2
(1+2t)2
从而当
1
2
≤t≤1
时,投入x=
a
2
时,售价y最大为a2万元;
0≤t<
1
2
时,投入x=
2at
1+2t
时,售价y最大为
8at2
(1+2t)2
万元.
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