题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,判断
的奇偶性,并说明理由;
(2)当,
时,若
,求
的值;
(3)若,且对任意
不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)或
(3)
【解析】
(1)当时,
为奇函数;当
时,
为非奇非偶函数.运用奇偶性的定义,即可得到结论;
(2)当,
时,若
,即为
,当
,当
,去掉绝对值,由指数方程的解法,即可得到所求
的值;
(3)只需考虑的情况,此时,不等式即
,即
,故
.利用函数的单调性求得
和
,从而求得
的取值范围.
解:(1)当时,
,
当时,
为奇函数;
当时,
为非奇非偶函数.
理由:当时,
,
,
为奇函数;
当时,
,
且,则
为非奇非偶函数;
(2)当,
时,若
,
即为,
当,即
时,
,
解方程可得或
(舍去);
当,即
时,
,
解方程可得.
则或
;
(3)当时,不等式即
,显然恒成立,
故只需考虑的情况,
此时,不等式即,即
,
故.
由于函数在
上单调递增,
故.
对于函数,
,
当时,
,
当且仅当时,
的最小值
.
此时,要使存在,必须有
,
即,此时
的取值范围是
.
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