题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中,设圆的方程为(x+2 )2+y2=48,F1是圆心,F2(2
,0)是圆内一点,E为圆周上任一点,线EF2的垂直平分线EF1的连线交于P点,设动点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l(与x轴不重合)与曲线C交于A、B两点,与x轴交于点M.
(i)是否存在定点M,使得 +
为定值,若存在,求出点M坐标及定值;若不存在,请说明理由;
(ii)在满足(i)的条件下,连接并延长AO交曲线C于点Q,试求△ABQ面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵圆的方程为(x+2 )2+y2=48的圆心F1为(﹣2
,0),半径为4
.
依题意点P满足 ,且4
>丨F1F2丨,
故点P的轨迹为以F1、F2为焦点,长轴为4 的椭圆
∴曲线C的方程: .
(Ⅱ)(i)设M(t,0),设直线l的方程:x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 ,整理得:(m2+3)y2+2mty+t2﹣12=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2=
,
=
,
=
,
则 +
=
=
,
当2t2+24=72﹣6t2,即t2=6时, +
=1,
此时M的坐标为(± ,0),
综上,存在点M(± ,0),使得
+
=1,
(ii)由(i)可知:t2=6,则丨AB丨= 丨y1﹣y2丨=
,
原点O直线AB的距离d= ,S△ABQ=4×
×
=
,
令 =μ∈[
,+∞),则S△ABQ=
=
≤
=4
,
当且仅当t= ,即m=0取最大值,
∴△ABQ面积的最大值4
【解析】(Ⅰ)由足 ,且4
>丨F1F2丨,则点P的轨迹为以F1、F2为焦点,长轴为4
的椭圆,即可求得椭圆方程;(Ⅱ)(i)设直线l的方程,代入椭圆方程,由
+
=
,利用韦达定理可知2t2+24=72﹣6t2,即可求得t的值,
+
=1;(ii)利用弦长公式,求得丨AB丨,利用点到直线距离公式,换元,即可求得△ABQ面积的最大值.
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