题目内容
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是椭圆C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.
(1)
(2)的取值范围为[,).
解析试题分析:(Ⅰ) 设F2(c,0),则
=,
所以c=1.
因为离心率e=,所以a=.
所以椭圆C的方程为. 5分
(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(,0)、Q(,0)
.
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(-,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由 得
(x1+x2)+2(y1+y2)=0,
则-1+4mk=0,
故k=.
此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为
.
即 .
联立 消去y,整理得
.
所以,.
于是(x1-1)(x2-1)+y1y2
.
令t=1+32m2,1<t<29,则
.
又1<t<29,所以
.
综上,的取值范围为[,). 13分
考点:椭圆的性质以及直线于椭圆的位置关系
点评:解决的关键是根据椭圆的几何性质来得到其方程,然后结合联立方程组来得到向量的坐标关系式,进而通过向量的数量积来得到结论,属于中档题。
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