题目内容

如图,F1F2是离心率为的椭圆C(ab>0)的左、右焦点,直线x=-将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设AB是椭圆C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于PQ两点,线段AB的中点M在直线l上.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.

(1)
(2)的取值范围为[).

解析试题分析:(Ⅰ) 设F2(c,0),则

所以c=1.
因为离心率e,所以a
所以椭圆C的方程为.                  5分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(,0)、Q(,0)

当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为kM(-m) (m≠0),A(x1y1),B(x2y2).
 得
(x1x2)+2(y1y2)=0,
则-1+4mk=0,
故k=
此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为

即  
联立 消去y,整理得

所以
于是(x1-1)(x2-1)+y1y2




t=1+32m2,1<t<29,则

又1<t<29,所以

综上,的取值范围为[).     13分
考点:椭圆的性质以及直线于椭圆的位置关系
点评:解决的关键是根据椭圆的几何性质来得到其方程,然后结合联立方程组来得到向量的坐标关系式,进而通过向量的数量积来得到结论,属于中档题。

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