题目内容

如图，椭圆的顶点为，焦点为，.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线，是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，.是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

(Ⅰ) (Ⅱ)使成立的直线不存在.

解析试题分析：(Ⅰ)由知a2+b2=7,             ①
由知a=2c,          ②
又b2=a2-c2                                    ③
由 ①，②，③解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为
(Ⅱ) 设A,B两点的坐标分别为
假设使成立的直线l存在，

(i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为,
由l与n垂直相交于P点且得,即m2=k2+1
由得x1x2+y1y2=0
将y=kx+m代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,
由求根公式可得x1+x2=            ④
x1+x2=         ⑤


将④，⑤代入上式并化简得       ⑥
将代入⑥并化简得，矛盾.
即此时直线不存在.
（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为，
则A,B两点的坐标为或
当时，
当时，
∴ 此时直线也不存在.
综上可知，使成立的直线不存在.
考点：本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系
点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后高考命题的一个新的重点、热点.

练习册系列答案
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已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
(3)在(2)的条件下，证明直线与轴相交于定点．

曲线都是以原点O为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是曲线的短轴，并且是曲线的长轴 . 直线与曲线交于A,D两点（A在D的左侧），与曲线交于B,C两点（B在C的左侧）．
（1）当=，时，求椭圆的方程；
（2）若，求的值．

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（其中为坐标原点），求整数的最大值．

已知椭圆C：的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为(＞0)的直线与C交于两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．

设椭圆的左、右焦点分别为，
上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．

已知椭圆C：（a＞b＞0）,则称以原点为圆心，r=的圆为椭圆C的“知己圆”。
（Ⅰ）若椭圆过点（0,1），离心率e=；求椭圆C方程及其“知己圆”的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若过点（0，m）且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.

已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
求椭圆C的方程；
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范围．

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