题目内容

(本题满分12分)设函数f(x)=x3ax2+3x+5(a>0).
(1)已知f(x)在R上是单调函数,求a的取值范围;
(2)若a=2,且当x∈[1,2]时,f(x)≤m恒成立,求实数m的取值范围.

(1) 0<a≤6 ;(2) [15,+∞).

解析试题分析:(1)f′(x)=3x2-ax+3,              2分
其判别式Δ=a2-36.
当0<a≤6时,f′(x)≥0恒成立,                4分
此时f(x)在R上为增函数.                       6分
(2)a=2时,f′(x)=3x2-2x+3>0恒成立,
因此f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,                8分
从而f(x)在[1,2]上递增,则f(x)max=f(2)=15,        10分
要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立,只需15≤m,
解得m∈[15,+∞).
故m的取值范围是[15,+∞).                      12分
考点:利用导数研究函数的单调性。
点评:解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:上恒成立;思路2: 上恒成立

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