题目内容
(本小题满分15分)设,
.
(1)当时,求曲线
在
处的切线的斜率;
(2)如果存在,使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;
(3)如果对于任意,都有
成立,求实数
的取值范围.
(1)(2)
(3)
解析试题分析:(1)当时,
,故
. ……3分
(2)存在,使得
成立等价于
,
∵,∴
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增, ……6分
∴,
,
∴,
∴满足的最大整数为4; ……8分
(3)对于任意,都有
成立,等价于
.
由(2)知,在上,
,
∴在上,
恒成立,等价于
恒成立,
记,则
且
,
∴当时,
;当
时,
,
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减,
∴∴
. ……15分
考点:本小题主要考查导数的几何意义的应用和利用导数解决单调性、最值和恒成立等问题,考查学生综
合运算所学知识分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
点评:恒成立问题是高考中一个常考的考点,恒成立问题一般转化成最值问题来解决.导数是研究函数性
质尤其是单调性、最值问题的有力工具,要灵活运算,但是不要忘记定义域.
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