题目内容

(本题14分)如图,一水渠的横断面是抛物线形,O是抛物线的顶点,口宽EF=4米,高3米,建立适当的直角坐标系,(1)求抛物线方程.(2)若将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不变,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大时,所挖的土最少?

(1);(2)梯形ABCD的下底AB=米时,所挖的土最少.

解析试题分析:(1)解:如图 以O为原点,AB所在的直线为X轴,建立平面直角坐标系,
则F(2,3),设抛物线的方程是

因为点F在抛物线上,所以

所以抛物线的方程是
 ……………………4分
(2) 解:等腰梯形ABCD中,AB∥CD,线段AB的中点O是抛物线的顶点,AD,AB,BC分别与抛物线切于点M,O,N
,设,则抛物线在N处的切线方程是……………………8分
,所以,……………………10分
梯形ABCD的面积是
…………………12分
答:梯形ABCD的下底AB=米时,所挖的土最少. ……………………14分
考点:本题主要考查抛物线在实际问题中的应用,导数的几何意义,均值定理的应用,直线与抛物线的位置关系。
点评:综合题,通过建立适当的直角坐标系,求得抛物线方程,从而通过研究直线与抛物线的位置关系,求切线方程,确定得到截面面积表达式,运用均值定理求得最值。

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