Question

椭圆的右焦点为，右准线为，离心率为，点在椭圆上，以为圆心，为半径的圆与的两个公共点是．

（1）若是边长为的等边三角形，求圆的方程；
（2）若三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程．

Answer 1

（1）。（2）． 

试题分析：设椭圆的半长轴是，半短轴是，半焦距离是，
由椭圆的离心率为，可得椭圆方程是，        2分
（只要是一个字母，其它形式同样得分，）
焦点，准线，设点，
（1）是边长为的等边三角形，
则圆半径为，且到直线的距离是，
又到直线的距离是，
所以，，，所以
所以，圆的方程是。              6分
（2）因为三点共线，且是圆心，所以是线段中点，
由点横坐标是得，，           8分
再由得：，，
所以直线斜率             10分
直线：，            12分
原点到直线的距离，
依题意，，所以，
所以椭圆的方程是．            15分
点评：解答此类综合题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用