题目内容
【题目】已知动圆过定点,且与直线
相切,动圆圆心的轨迹为
,过
作斜率为
的直线
与
交于两点
,过
分别作
的切线,两切线的交点为
,直线
与
交于两点
.
(1)证明:点始终在直线
上且
;
(2)求四边形的面积的最小值.
【答案】(1)见解析(2)最小值为32.
【解析】
(1)根据抛物线的定义,判断出的轨迹为抛物线,并由此求得轨迹
的方程.设出
两点的坐标,利用导数求得切线
的方程,由此求得
点的坐标.写出直线
的方程,联立直线
的方程和曲线
的方程,根据韦达定理求得
点的坐标,并由此判断出
始终在直线
上,且
.
(2)设直线的倾斜角为
,求得
的表达式,求得
的表达式,由此求得四边形
的面积的表达式进而求得四边形
的面积的最小值.
(1)∵动圆过定点,且与直线
相切,∴动圆圆心到定点
和定直线
的距离相等,∴动圆圆心的轨迹
是以
为焦点的抛物线,∴轨迹
的方程为:
,
设,∴直线
的方程为:
,即:
①,同理,直线
的方程为:
②,
由①②可得:,
直线方程为:
,联立
可得:
,
,∴点
始终在直线
上且
;
(2)设直线的倾斜角为
,由(1)可得:
,
,
∴四边形的面积为:
,当且仅当
或
,即
时取等号,∴四边形
的面积的最小值为32.
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