[题目]已知为椭圆的左.右顶点.为其右焦点.是椭圆上异于的动点.且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程,(2)直线与椭圆在点处的切线交于点.当点在椭圆上运动时.求证:以为直径的圆与直线恒相切. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:以为直径的圆与直线恒相切.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析: （1）由题意知知，由此能求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，得.，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切．

试题解析：(1)设椭圆的方程为,

由题意知解之得,

故椭圆的方程为.

(2)证明：设直线的方程为.

则点坐标为中点的坐标为.

由得.

设点的坐标为，则.

点坐标为,

当时，点的坐标为,直线轴，点的坐标为.

此时以为直径的圆与直线相切.

当时，则直线的斜率.

直线的方程为.

点E到直线的距离.

又因为.

故以为直径的圆与直线相切.

综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直径恒相切.

练习册系列答案

（1）求，，，判断事件A与B是否相互独立；

（2）求.

【题目】为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；

（Ⅲ）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

	优秀	非优秀	合计
男生
女生
合计

参考公式及数据：，．

【题目】设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，．

【题目】某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]

（Ⅰ）求图中的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

【题目】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

【题目】某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站.根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？

（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率.

【题目】如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.

（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【题目】[选修4—4：坐标系与参数方程]

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．

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