题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=3,△ABC的面积等于 ,D为边长BC上一点.
(1)求BC的长;
(2)当AD= 时,求cos∠CAD的值.
【答案】
(1)解:在△ABC中,∠BAC=120°,AC=3,△ABC的面积等于 ACABsin∠BAC= 3AB = ,
∴AB=5,再由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=25+9﹣2×5×3×(﹣ )=49,
∴BC=7.
(2)解:由题意可得cosC= = ,sinC= .
D为边长BC上一点,当AD= 时,△ACD中,利用正弦定理可得 = ,即 = ,
求得sin∠ADC= ,∴cos∠ADC=± =± .
当 cos∠ADC= ,cos∠CAD=﹣cos(C+∠ADC)=﹣cosCcos∠ADC+sinCsin∠ADC
=﹣ + = .
当 cos∠ADC=﹣ ,cos∠CAD=﹣cos(C+∠ADC)=﹣cosCcos∠ADC+sinCsin∠ADC
=﹣ (﹣ )+ =
【解析】(1)由条件利用余弦定理、三角形的面积公式先求得AB的值,可得BC的值.(2)利用正弦定理求得sin∠ADC 的值,可得cos∠ADC 的值,再利用两角和的余弦公式,求得cos∠CAD=﹣cos(C+∠ADC)的值.
【考点精析】本题主要考查了余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握余弦定理:;;才能正确解答此题.
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