Question

14．是否存在实数a，使得f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$） 在[2，4]上是增函数？若存在，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分类讨论，考查内外函数的单调性，利用f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）（a＞0，且a≠1）在区间[2，4]上是增函数，即可求实数a的取值范围．

解答 解：设t=ax-$\sqrt{x}$=a（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$，
当a＞1时，由于函数t=ax-$\sqrt{x}$在[2，4]是增函数，且函数t大于0恒成立，
故函数f （x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）在[2，4]是增函数，满足条件．
当 1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax-$\sqrt{x}$在[2，4]应是减函数，且函数t大于0，
故$\frac{1}{2a}$≥$\sqrt{4}$，且4a-2＞0，此时无解
综上，实数a的取值范围是（1，+∞）

点评 本题考查对数函数的单调性，考查复合函数的单调区间，难度中档．