Question

9．已知△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线．
（1）求AD的长度；
（2）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=y$\overrightarrow{AC}$，求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=3．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定理便有$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{1}$，从而$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，从而便可得到$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，两边平方后进行数量积的运算，便可求出AD；
（2）由$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=y\overrightarrow{AC}$便可得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3x}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3y}\overrightarrow{AF}$，而根据E，D，F三点共线便可得出$\frac{1}{3x}+\frac{2}{3y}=1$，从而得出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3$．

解答 解：（1）根据角平分线定理：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1}$；
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{4}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{4}{9}-\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{4}{9}$；
∴$|\overrightarrow{AD}|=\frac{2}{3}$；
即AD=$\frac{2}{3}$；
（2）证明：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3x}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3y}\overrightarrow{AF}$；
∵E，D，F三点共线；
∴$\frac{1}{3x}+\frac{2}{3y}=1$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3$．

点评 考查角平分线定理，向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及三点A，B，C共线时，若$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，则x+y=1，数量积的运算及其计算公式．