Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，平面PCD⊥平面ABCD，PC=a，PD=$\sqrt{2}$a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 由勾股定理得PC⊥CD，从而PC⊥平面ABCD连接BD，AC，交于点O，再连接OE，则OE∥PC，从而OE⊥平面ABCD，由此能证明平面EDB⊥平面ABCD．

解答 证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，PC=a，PD=$\sqrt{2}$a，
∴PC²+CD²=PD²，
由勾股定理得PC⊥CD，
又∵平面 PCD⊥平面ABCD，PC∈平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PC⊥平面ABCD
连接BD，AC，交于点O，再连接OE，
则OE∥PC，
又∵PC⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵OE∈平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．

点评 本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．