题目内容

8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．
（1）已知t=$\frac{4}{3}$．
①若点P在第一象限，且OP=$\frac{5}{3}$，求过点P的圆O的切线方程；
②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．

分析 （1）①设点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，y0）（y0＞0），利用OP=$\frac{5}{3}$，及（$\frac{4}{3}$）2+y02=（$\frac{5}{3}$）2，可解得y0=1．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y-1=k（x-$\frac{4}{3}$），利用点到直线间的距离公式可得$\frac{|1-\frac{4}{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=0或k=$\frac{24}{7}$，从而可得过点P的圆O的切线方程．
②设A（x，y），则B（$\frac{x+\frac{4}{3}}{2}$，$\frac{y+{y}_{0}}{2}$），利用点A、B均在圆O上，可得$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=1\\（{\frac{x+\frac{4}{3}}{2}）}^{2}+（{\frac{y+{y}_{0}}{2}）}^{2}=1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=1\\（x+\frac{4}{3}）^{2}+（{y+{y}_{0}）}^{2}=4\end{array}\right.$，该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+$\frac{4}{3}$）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；
（2）设R（x2，y2），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=1\\（{x}_{2}-t）^{2}+{{y}_{2}}^{2}=1\end{array}\right.$，解得x2=$\frac{t}{2}$，${{y}_{2}}^{2}$=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，于是可得直线RM的方程为：-$\frac{2{y}_{2}}{t}$（x-t），与圆的方程x2+y2=1联立，可求得N点横坐标为$\frac{t（3-{t}^{2}）}{2}$，继而可得NQ的表达式，可求得线段NQ长的最小值．

解答 解：（1）①设点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，y0），因为OP=$\frac{5}{3}$，所以（$\frac{4}{3}$）2+y02=（$\frac{5}{3}$）2，解得y0=±1．
又点P在第一象限，所以y0=1，即点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，1），易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为y-1=k（x-$\frac{4}{3}$），即kx-y+1-$\frac{4}{3}$k=0，于是有$\frac{|1-\frac{4}{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=0或k=$\frac{24}{7}$．
因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x-7y-25=0．
②设A（x，y），则B（$\frac{x+\frac{4}{3}}{2}$，$\frac{y+{y}_{0}}{2}$），因为点A、B均在圆O上，所以有$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=1\\（{\frac{x+\frac{4}{3}}{2}）}^{2}+（{\frac{y+{y}_{0}}{2}）}^{2}=1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=1\\（x+\frac{4}{3}）^{2}+（{y+{y}_{0}）}^{2}=4\end{array}\right.$．
该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+$\frac{4}{3}$）2+（y+y0）2=4有公共点．
于是1≤$\sqrt{\frac{16}{9}+{{y}_{0}}^{2}}$≤3，解得-$\frac{\sqrt{65}}{3}$≤y0≤$\frac{\sqrt{65}}{3}$，即点P纵坐标的取值范围是[-$\frac{\sqrt{65}}{3}$，$\frac{\sqrt{65}}{3}$]．

（2）设R（x2，y2），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=1\\（{x}_{2}-t）^{2}+{{y}_{2}}^{2}=1\end{array}\right.$，解得x2=$\frac{t}{2}$，${{y}_{2}}^{2}$=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
直线RM的方程为：-$\frac{2{y}_{2}}{t}$（x-t）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=1\\ y=-\frac{2{y}_{2}}{t}（x-t）\end{array}\right.$可得N点横坐标为$\frac{t（3-{t}^{2}）}{2}$，
所以NQ=$\sqrt{{（\frac{2t-{t}^{3}}{2}）}^{2}+1-{（\frac{3t-{t}^{3}}{2}）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{t}^{4}-5{t}^{2}+4}$，所以当t2=$\frac{5}{4}$，即t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，NQ最小为$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查点到直线间的距离公式、直线的点斜式方程，突出考查方程思想与综合运算能力，属于难题．

练习册系列答案
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217×√×√
200√√√×
300√×√×
85√×××
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