题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)设定义在上的函数
的最大值为
,最小值为
,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)极大值1,无极小值;递减区间,递增区间
(2)
【解析】
(1)求导后,解不等式、
后即可得单调区间,根据极值的概念即可求得极值;
(2)求导得,按照
、
、
分成3种情况,找到在
上
的最值,分类讨论即可得解.
(1),定义域为
当时,
,所以
在区间
上为减函数,
当时,
,所以
在区间
上为增函数,
所以极大值
,无极小值;
的递减区间
,递增区间
.
(2)因为,所以
①当时,
,
在
上单调递减,
由,所以
,即
,得
.
②当时,
,
在
上单调递增,
所以,即
,得
.
③当时,
在,
,
在
上单调递减,
在,
,
在
上单调递增.
所以即
,
由(1)知在
上单调递减,
故,而
,所以不等式
无解.
综上所述,.

【题目】“绿水青山就是金山银山”,为了响应国家政策,我市环保部门对市民进行了一次环境保护知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的50人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:
组别 | ||||||
男 | 1 | 2 | 2 | 10 | 9 | 6 |
女 | 0 | 5 | 5 | 5 | 3 | 2 |
若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环境保护关注者”,则上图中表格可得列联表如下:
非“环境保护关注者” | 是“环境保护关注者” | 合计 | |
男 | 5 | 25 | 30 |
女 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 15 | 35 | 50 |
(1)请完成上述列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“环境保护关注者”与性别有关?
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环境保护达人”,现在从本次调查的“环境保护达人”中利用分层抽样的方法抽取4名市民参与环保知识问答,再从这4名市民中随机抽取2人参与座谈会,求抽取的2名市民中,既有男“环境保护达人”又有女“环境保护达人”的概率.
附表及公式:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如下:
得分 | |||||||
男性人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于60分的概率;
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成列联表,并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?
不太了解 | 比较了解 | |
男性 | ||
女性 |
(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取10人,连同名男性调查员一起组成3个环保宜传队.若从这
中随机抽取3人作为队长,且男性队长人数占的期望不小于2.求
的最小值.
附:
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |