题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
,
,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得平面
与平面
所成锐二面角为
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1)利用余弦定理计算BC,根据勾股定理可得BC⊥BD,结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD,于是平面PBD⊥平面PBC;(2)建立空间坐标系,设λ,计算平面ABM和平面PBD的法向量,令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于
,解方程得出λ的值,即可得解.
(1)证明:因为四边形为直角梯形,
且,
,
,
所以,
又因为。根据余弦定理得
所以,故
.
又因为,
,且
,
平面
,所以
平面
,
又因为平面PBC,所以
(2)由(1)得平面平面
,
设为
的中点,连结
,因为
,
所以,
,又平面
平面
,
平面平面
,
平面
.
如图,以为原点分别以
,
和垂直平面
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
,
假设存在满足要求,设
,即
,
所以,
易得平面的一个法向量为
.
设为平面
的一个法向量,
,
由得
,不妨取
.
因为平面与平面
所成的锐二面角为
,所以
,
解得,(不合题意舍去).
故存在点满足条件,且
.
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