Question

【题目】已知数列{an}，{bn}都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{cn}．
（1）设数列{an}，{bn}分别为等差、等比数列，若a1=b1=1，a2=b3 ， a6=b5 ， 求c20；
（2）设{an}的首项为1，各项为正整数，bn=3n ， 若新数列{cn}是等差数列，求数列{cn} 的前n项和Sn；
（3）设bn=qn﹣1（q是不小于2的正整数），c1=b1 ， 是否存在等差数列{an}，使得对任意的n∈N* ， 在bn与bn+1之间数列{an}的项数总是bn？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{an}；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由题意得， ，解得d=0或3，因数列{an}，{bn}单调递增，

所以d＞0，q＞1，

所以d=3，q=2，

所以an=3n﹣2，bn=2n﹣1．

因为a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，b7＞a20．

∴c20=a17=49．

（2）解：设等差数列{cn}的公差为d，又a1，且bn=3n，

所以c1=1，所以cn=dn+1﹣d．

因为b1=3是{cn}中的项，所以设b1=cn，即d（n﹣1）=2．

当n≥4时，解得d= ＜1，不满足各项为正整数；

当b1=c3=3时，d=1，此时cn=n，只需取an=n，而等比数列{bn}的项都是等差数列{an}，中的项，所以Sn= ；

当b1=c2=3时，d=2，此时cn=2n﹣1，只需取an=2n﹣1，

由3n=2m﹣1，得m= ，3n是奇数，3n+1 是正偶数，m有正整数解，

所以等比数列{bn}的项都是等差数列{an}中的项，所以Sn=n2．

综上所述，数列{cn}的前n项和Sn= ，或Sn=n2．

（3）解：存在等差数列{an}，只需首项a1∈（1，q），公差d=q﹣1…

下证bn与bn+1之间数列{an}的项数为bn．即证对任意正整数n，都有 ，

即 成立．

由bn﹣ =qn﹣1﹣a1﹣（1+q+…+qn﹣2）（q﹣1）=1﹣a1＜0，

bn+1﹣ =qn﹣a1﹣（1+q+…+qn﹣1﹣1）（q﹣1）=q﹣a1＞0．．

所以首项a1∈（1，q），公差d=q﹣1的等差数列{an}符合题意

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意得， ，解得d=0或3，因数列{an}，{bn}单调递增，d＞0，q＞1，可得an=3n﹣2，bn=2n﹣1 ， 利用通项公式即可得出．（2）设等差数列{cn}的公差为d，又a1 ， 且bn=3n ， 所以c1=1，所以cn=dn+1﹣d．因为b1=3是{cn}中的项，所以设b1=cn ， 即d（n﹣1）=2．当n≥4时，解得d= ＜1，不满足各项为正整数当b1=c3=3时，当b1=c2=3时，即可得出．（3）存在等差数列{an}，只需首项a1∈（1，q），公差d=q﹣1．下证bn与bn+1之间数列{an}的项数为bn ． 即证对任意正整数n，都有 ，作差利用通项公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．