题目内容
【题目】已知椭圆
、抛物线
的焦点均在
轴上， 
的中心和
的顶点均为原点
，平面上四个点
， 
， 
， 
中有两个点在椭圆
上，另外两个点在抛物线
上.
（1）求
的标准方程；
（2）是否存在直线
满足以下条件：①过
的焦点
；②与
交于
两点，且以
为直径的圆经过原点
.若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
或
【解析】试题分析：（1）由题意，易知椭圆
的标准方程为
，抛物线
的标准方程为
；（2）设直线
的方程为
， 
，利用韦达定理，得到直线
的方程。
试题解析：
（1）设抛物线
，则有
据此验证四个点知
， 
在抛物线上，
易得，抛物线
的标准方程为
设椭圆
，把点
， 
代入可得
所以椭圆
的标准方程为
（2）以
为直径的圆经过原点
,则
的焦点
. 当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
直线
交椭圆
于点
，不满足题意
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
， 
由
，消去
得
于是
①
由
得
②
将①代入②式，得
解得
所以存在直线
满足条件，且
的方程为
或
.
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