Question

【题目】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）= ，P（Bk）= （k=1，2，3）

记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（ ）+P（ ）

= × + = ；

（2）解：投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3

P（ξ=1）=P（A1）+P（ ）=

P（ξ=2）=P（ ）+P（ ）= =

P（（ξ=3）=P（ ）= =

ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P

期望Eξ=1× +2× +3× =

【解析】设Ak ， Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）= ，P（Bk）= （k=1，2，3）（1） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（ ）+P（ ），利用互斥事件的概率公式即可求解；（2）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题．