Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）判断并证明的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数，使函数为奇函数？证明你的结论；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上为增函数；

（Ⅱ）时,是上的奇函数，证明见解析；

（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）直接由函数单调性的定义加以证明；

（Ⅱ）由奇函数的性质得f（0）＝0，求得a的值，然后利用奇函数的定义证明a＝1时函数f（x）为奇函数．

（Ⅲ）由题意将m进行参数分离，得到，利用换元法求得不等式右边的最小值即可.

（Ⅰ）任取，且，则

，即

又，

，即

在上为增函数

（Ⅱ）假设存在实数，使函数为奇函数,

,，即.

时,是上的奇函数.

（Ⅲ）即恒成立，

∵，∴，即

∴（）恒成立，

设（），则

当且仅当，即时等号成立.

的最小值为

∴

即实数的取值范围为.