Question

【题目】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且

（1）设，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，且，求满足的所有正整数；

（3）若存在正整数，且，试比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当d=0, 当，（2）（3） ，见解析

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a3＝b2，a4＝b3，a1＝b1＝1建立关系求解an，bn的通项公式，可得数列{an+bn}的通项公式；

（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式建立关系，利用函数的极值思想，求解n、m的关系，可得答案．

（3）存在正整数m（m≥3），且am＝bm＞0，需对q＝1或q＞1进行讨论，利用一次函数与指数函数的图像特点，即可得结论．

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

∵a1＝b1＝1．

a3＝b2，a4＝b3，∴1+2d＝q，1+3d＝q2，

联立解得d＝0，q＝1；d，q．

∴d＝0，q＝1时，an＝1，bn＝1，an+bn＝2．

d，q时，an＝1（n﹣1），bn，an+bn．

（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，∴d≠0，d，q，

Sn＝n，Pm2．

n22，

解得：n或n．

满足Sn＝Pm的所有正整数n、m为：，，，，

（3）存在正整数m（m≥3），且am＝bm＞0，

1+（m﹣1）d＝qm﹣1＞0．

1，1+d，1+2d，…，1+（m﹣1）d．

1，q，q2，…，qm﹣1．

若q＝1，则（m﹣1）d＝0，可得d＝0．则Sm＝m，Pm＝m，此时Sm＝Pm．

若q≠1，则d≠0，将{an}与{bn}分别视为关于x的函数，

若有am＝bm则q＞1．大致图像：

由一次函数与指数函数的图像特点可得:当1<n< m时，an>bn，

∴Sm﹣Pm＞0．

∴存在正整数m（m≥3），且am＝bm＞0，Sm≥Pm．