题目内容
【题目】设数列
的前
项和为
，对任意
，点
都在函数
的图象上.
(1)求
，归纳数列的通项公式(不必证明).
(2)将数列依次按
项、
项、
项、
项、
项循环地分为
，
，
，
，各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
，求
的值.
(3)设
为数列
的前项积，若不等式
对一切都成立，其中
，求
的取值范围.
【答案】（1）
，
，
，
（2）3012 （3）
【解析】
（1）求得
，分别令
，2，3，进而归纳出数列
的通项公式；
（2）写出几个循环数，可得每一次循环记为一组，由每一个循环含有5个括号，故
是第20组中第5个括号内的数之和，每一个循环中含有15个数，20个循环具有300个数，计算可得所求和；
（3）由题意可得原不等式即为
对一切
都成立，
设
，则只需
，判断数列
的单调性，可得最大值，解不等式即可得到所求
的范围．
因为点
在函数
的图象上，故
所以
令，得
，所以；
令
，得
，所以；
令
，得
，所以；
由此猜想:.
因为，所以数列
依次按
项、
项、
项、
项、
项循环地分为
，
，
，
每一次循环记为一组.由于每一个循环含有个括号，故是第
组中第个括号内各数之和，每个循环中有
个数，
个循环共有
个数.
又
，所以
.
（3）因为
故
，
所以
又
故
对一切都成立，
就是
，则只需
即可
由于
，所以
故
是单调递减，
于是
，
解得
.
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