Question

1．已知函数f（x）=sin（π-x）cos（$\frac{π}{2}$+x）+cos²x，
（1}求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大最小值；
（3）当f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），求α的值．

Answer 1

分析 （1）首先，利用诱导公式，化简函数解析式，得到f（x）=cos2x，然后，确定其周期即可；
（2）根据（1），直接求解其最大值和最小值即可；
（3）利用特殊值，求解α的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（π-x）cos（$\frac{π}{2}$+x）+cos²x，
=sinx（-sinx）+cos²x
=cos2x，
∴f（x）=cos2x，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）函数f（x）的最大值：1，最小值：-1．
（3）∵f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2α=$\frac{π}{6}$，
∴α=$\frac{π}{12}$．

点评 本题重点考查了诱导公式、三角函数的图象与性质、辅助角公式等知识，属于中档题．