题目内容
9．已知函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时．f（x）＞0．（1）求证f（x）是偶函数；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是递增的；
（3）试比较f（-$\frac{5}{2}$）与f（$\frac{7}{4}$）的大小．
分析 （1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可；
（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．
解答 解：（1）令x1=x2=1，
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x1=-1，x2=-1，
f（1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0；
令x1=-1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
又∵f（-1）=0
∴f（-x2）=f（x2）
故f（x）是偶函数；
（2）设x1＜x2，
∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）-f（x2）＜0，
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x1）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x2），
则f（x2）-f（x1）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在定义域内是增函数．
（3）∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），
∵f（x）在定义域内是增函数，
∴f（$\frac{5}{2}$）＞f（$\frac{7}{4}$），
即f（-$\frac{5}{2}$）＞f（$\frac{7}{4}$）．
点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性和单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．
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