题目内容

【题目】已知两个不相等的非零向量 ,两组向量 均由2个 和3个 排列而成,记S= + + + + ,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
①S有5个不同的值;
②若 ,则Smin与| |无关;
③若 ,则Smin与| |无关;
④若| |>4| |,则Smin>0;
⑤若| |=2| |,Smin=8| |2 , 则 的夹角为

【答案】②④
【解析】解:∵xi , yi(i=1,2,3,4,5)均由2个 和3个 排列而成,
∴S=xiyi可能情况有三种:①S=2 +3 ;②S= +2 +2 ;③S=4 +
S有3种结果:S1= + + + +
S2= + + + +
S3= + + + + ,故①错误;
∵S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 + ﹣2| || |= ≥0,
∴S中最小为S3
,则Smin=S3= ,与| |无关,故②正确;
③若 ,则Smin=S3=4 + ,与| |有关,故③错误;
④若| |>4| |,则Smin=S3=4| || |cosθ+ >﹣4| || |+ >﹣ + =0,故④正确;
⑤若| |=2| |,Smin=S3=8| |2cosθ+4 =8
∴2cosθ=1,∴θ=
的夹角为
综上所述,命题正确的是②④,
所以答案是:②④.
【考点精析】认真审题,首先需要了解命题的真假判断与应用(两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).

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